工程流体力学（甲）Ⅰ

课程信息

• 主讲教师：俞自涛、范利武
• 教材：孔珑主编《工程流体力学（第四版）》，中国电力出版社
• 课程范围：流体性质、流体静力学、理想流体动力学、黏性流动、可压缩一维流动、量纲分析与相似原理
• 考核方式：期末考试 60%；平时成绩 40%（作业、阅读和课堂测验）。此项按 2026 年秋季教学指南记录。

工程流体力学研究流体的静止、运动及其与固体之间的作用。管道阻力、泵与风机的功耗、喷管流量、机翼和球体受到的力，都可以沿着同一条思路分析：先选取流体模型，再写质量、动量和能量守恒关系，最后用材料性质与边界条件确定未知量。

本页按《工程流体力学（甲）Ⅰ》的六章教学提纲编排。例题按课程范围放在相应章节，注明是作业、课件题、手写回忆卷还是自拟演示题。

核心手写讲义原稿

以下四份是本讲义前三章的主要课堂依据。正文将原稿里中英文交错的术语、图和推导改写为中文；想核对老师的列式顺序、图示或旁注时，可打开对应 PDF 原页。PDF 页码均指文件阅读器显示的页码。

手写讲义	页数	读图与复习重点
第一章：流体的定义与模型	5	连续介质、流体与固体的差别、黏性和流体性质
第一章 1.1：流体的性质和特点	7	牛顿内摩擦定律、非牛顿流体、表面张力、毛细升降
第二章：流体静力学	16	静压分布、压强计、帕斯卡定理、平面与曲面总压力、浮力及旋转液面
第三章：理想流体力学基础	24	控制体与连续性、欧拉与动量方程、伯努利方程、皮托管和文丘里管

对照手写稿做题

先读正文对应的中文推导，再回看原稿的控制体、受力图和红蓝旁注。手写回忆卷的极坐标连续性题可与第三章原稿第 5–8 页的连续性推导对照；静压与烟囱题先复习第二章原稿第 5–9 页的压强分布；量纲题另看本页第六章。

第一次课堂测验速查

老师公布的测验范围是流体黏度、牛顿流体、表面张力、帕斯卡定理。先看黏性与牛顿内摩擦定律、表面张力与毛细现象和帕斯卡定理，再做第一章作业与课件例题卡片及帕斯卡例题。作业 2-7 的热膨胀计算收录在例题中，但不属于这次公布的四项范围。

测验主题	选择、填空先会判断	对应计算练习
流体黏度	\(\mu\) 与 \(\nu\) 的定义、单位及 \(\nu=\mu/\rho\)	作业 2-9
牛顿流体	\(\tau=\mu\,\mathrm du/\mathrm dy\)、牛顿与非牛顿流体的区别	作业 2-12、2-14，课件窄缝流动题
表面张力	\(\sigma\) 的单位、接触角与毛细升降方向	作业 2-16、2-17
帕斯卡定理	静压强的方向性、外加压强增量的传递	液压机举力演示题

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符号速查

符号	含义	常用单位或关系
\(\rho\)	密度	\(\mathrm{kg/m^3}\)
\(p\)	绝对压强	\(\mathrm{Pa}\)
\(\mu\)	动力黏度	\(\mathrm{Pa\cdot s}\)
\(\nu\)	运动黏度	\(\nu=\mu/\rho\)，\(\mathrm{m^2/s}\)
\(\sigma\)	表面张力系数	\(\mathrm{N/m}\)
\(\boldsymbol V\)、\(u,v,w\)	速度矢量及其直角坐标分量	\(\mathrm{m/s}\)
\(Q\)、\(\dot m\)	体积流量、质量流量	\(Q=AV\)，\(\dot m=\rho Q\)
\(A,D,L\)	截面积、管径、长度	\(\mathrm{m^2}\)、\(\mathrm m\)
\(g\)	重力加速度	约 \(9.81\ \mathrm{m/s^2}\)
\(\gamma_g\)	气体比热比	\(\gamma_g=c_p/c_v\)
\(\mathrm{Re}\)	雷诺数	\(\rho VL/\mu=VL/\nu\)
\(\mathrm{Ma}\)	马赫数	\(V/a\)
\(\delta\)	缝隙宽度或边界层厚度，依题目定义	\(\mathrm m\)
\(f_D,K\)	达西沿程阻力系数、局部阻力系数	无量纲

同一个希腊字母可能有不同含义

有些教材用 \(\gamma\) 表示流体重度 \(\rho g\)，也常用 \(\gamma_g\) 表示气体比热比。本文用 \(\rho g\) 表示重度，用 \(\gamma_g\) 表示比热比；遇到原题时以题目定义为准。

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章节概览

章节	标题	主要问题
第一章	流体的性质	流体如何区别于固体，黏性和表面张力怎样进入模型
第二章	流体静力学	静止流体的压强如何分布，流体对平面和曲面施加多大作用力
第三章	理想流体动力学	连续性、欧拉方程和伯努利方程如何描述流动
第四章	黏性流体动力学	黏性流动与管道损失如何计算，边界层概念如何理解
第五章	可压缩流体一维定常流动	声速、马赫数、临界流动和喷管如何分析
第六章	量纲分析与相似原理	如何用少量无量纲参数组织实验和模型设计

建议的做题顺序

先明确流体是否可压缩、是否可忽略黏性、流动是否定常，再选择控制体或流体微团。写方程前先画出方向、截面和压强基准；算完后检查单位、符号和极限情形。

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甲Ⅰ手写回忆卷 · 年份未注明

这份手写记录由同学提供，没有试卷抬头、年份和完整数值。所记内容对应甲Ⅰ的连续性方程、管路损失、烟囱流动、等熵气流和量纲分析。题目卡片分散放在各章对应知识点下，保留原题线索；缺失处用符号推导，条件不足时说明还需要什么，避免把补充假设当成原题。可展开查看手写原图。

查看手写回忆卷原图


原题线索	放在讲义何处
证明二维极坐标连续性方程	第三章：质量守恒与连续性方程
由截面积求局部阻力系数 \(\zeta_2\)；已知 \(Q\) 求 \(h_j\)	第四章：局部阻力
烟囱密度差、沿程阻力与高度 \(H\)	第四章：管路能量方程
已知两截面状态求速度、温度与马赫数	第五章：等熵气流
证明沉降速度的量纲表达	第六章：量纲分析

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第一章 · 流体的性质

章节概览

本章建立后续计算所用的流体模型。流体的核心特征是不能在静止平衡时承受剪切应力；运动时的黏性则把速度梯度和内摩擦联系起来。

流体与连续介质模型

流体包括液体和气体。与固体相比，流体没有固定形状；在切向力作用下会持续变形，直至应力消失或与其他作用达到平衡。固体在小变形范围内主要表现为“应力对应变”，牛顿流体则表现为“切应力对应变率”。

固体、液体和气体的微观排列示意。流体分子可相对移动，因此宏观上能持续变形（图源：流体基本概念课件）

工程流体力学通常采用连续介质假设：把流体看成在空间中连续分布的介质，密度、压强、温度和速度等量都视为连续场。只要研究尺度远大于分子平均自由程，这个模型就能有效描述大多数常见工程流动。

液体通常较难压缩，在许多低速工程问题中可取 \(\rho=\text{常数}\)；气体容易压缩，密度可能随压强和温度明显变化。是否可视为不可压缩，最终应由工况决定，而不能仅凭“液体”或“气体”的名称判断。

密度、重度与压缩性

密度定义为单位体积内的质量：

\[ \rho=\frac{m}{V} \]

重度为单位体积的重量，记作 \(\rho g\)。相对密度是流体密度与规定参考物质密度之比，无量纲。

描述压缩性的常用量是体积弹性模量：

\[ K=-V\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right),\qquad \beta=\frac{1}{K} \]

\(K\) 越大，流体越难压缩；\(\beta\) 越小，压缩性越弱。水在一般低压流动中常可近似按不可压缩流体处理，气体则需结合流速、压差和温度变化判断。

黏性与牛顿内摩擦定律

黏性是流体抵抗相邻流层相对滑动的性质。黏性在运动中表现为内摩擦：速度不同的流层相互作用，较快流层受到阻滞，较慢流层受到拖曳。

对两块平行板之间的简单剪切流动，若速度主要沿 \(x\) 方向变化、且沿法向 \(y\) 的速度分布为 \(u(y)\)，牛顿内摩擦定律为

\[ \tau=\mu\frac{\mathrm du}{\mathrm dy} \]

其中 \(\tau\) 为切应力，\(\mu\) 为动力黏度。动力黏度反映流体内摩擦的强弱，单位为 \(\mathrm{Pa\cdot s}\)。运动黏度定义为

\[ \nu=\frac{\mu}{\rho} \]

单位为 \(\mathrm{m^2/s}\)。动力黏度用于应力关系；运动黏度常出现在雷诺数和扩散方程中。

黏性流体在板间受拖曳后形成速度梯度；黏性切应力与速度梯度成正比（图源：流体基本概念课件）

牛顿流体的切应力与剪切速率成线性关系。水和空气在常见工程条件下可近似看作牛顿流体。剪切稀化、剪切增稠或具有屈服应力的流体属于非牛顿流体，不能直接套用常数 \(\mu\) 的牛顿内摩擦定律。

温度对黏度的影响

常压附近，液体温度升高时黏度通常下降；气体温度升高时黏度通常上升。低压范围内压强影响常较弱，高压时则可能不可忽略。

黏度可用毛细管流量法、落球法或旋转黏度计测量。落球法要注意容器壁和端部对测量结果的影响；毛细管法根据已知管径、长度、压差和流量反算黏度。

表面张力与毛细现象

液体表面分子受力不对称，使液面具有收缩趋势。表面张力系数 \(\sigma\) 表示单位长度上的表面张力，满足

\[ F=\sigma l \]

若是肥皂膜，薄膜有两个自由表面，总拉力为 \(F=2\sigma l\)。对半径为 \(R\) 的液滴，液内外压强差为 \(2\sigma/R\)；肥皂泡有内外两个界面，压强差为 \(4\sigma/R\)。

接触角 \(\theta\) 表征液体、气体和固体三相交界处的界面状态。圆形细管内的毛细高度近似为

\[ h=\frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r} \]

其中 \(r\) 是管内半径。\(\theta<90^\circ\) 时液面上升，\(\theta>90^\circ\) 时液面下降。

接触角由固、液、气三相界面的平衡决定（图源：流体基本概念课件）

雷诺数与流动状态

雷诺数衡量惯性作用相对黏性作用的强弱：

\[ \mathrm{Re}=\frac{\rho V L}{\mu}=\frac{VL}{\nu} \]

其中 \(V\) 是代表速度，\(L\) 是代表长度。雷诺数小，黏性影响相对突出；雷诺数大，惯性影响相对突出。管流常用管径作特征长度；平板边界层常用距前缘的距离 \(x\)。

雷诺数必须和特征尺度一起写

\(\mathrm{Re}_D=VD/\nu\) 与 \(\mathrm{Re}_x=Vx/\nu\) 对应不同问题。计算时注明所用的速度、长度和黏度，不能只写一个没有下标的雷诺数。

第一章作业与课件例题卡片

下面各卡片可展开核对题目、列式和答案。题号按你发来的本学期红笔作业照片记录；该照片未印年份，按 2026 年秋季课程归档。圆盘、旋转轴与往复活塞的课件例题也已制成卡片。作业 2-7 是第一章作业，但这次小测通知没有列热膨胀。

作业 2-9｜动力黏度换算为运动黏度

题目：某油的动力黏度 \(\mu=2.9\times10^{-4}\ \mathrm{Pa\cdot s}\)、密度 \(\rho=678\ \mathrm{kg/m^3}\)，求运动黏度。

求解：区分 \(\mu\) 与 \(\nu\)，直接代入

\[ \nu=\frac{\mu}{\rho} =\frac{2.9\times10^{-4}}{678} \approx4.28\times10^{-7}\ \mathrm{m^2/s}. \]

易错点：运动黏度的单位是 \(\mathrm{m^2/s}\)，计算时必须除以密度。

作业 2-12｜平行板剪切反求动力黏度

题目：两板间距 \(\delta=0.5\ \mathrm{mm}\)，上板以 \(U=0.25\ \mathrm{m/s}\) 匀速运动；维持运动需要的切向力为每平方米 \(2\ \mathrm N\)。求流体动力黏度。

求解：单位面积受力就是切应力 \(\tau=F/A=2\ \mathrm{Pa}\)。线性速度剖面给出 \(\tau=\mu U/\delta\)，所以

\[ \mu=\frac{\tau\delta}{U} =\frac{2\times0.0005}{0.25} =0.004\ \mathrm{Pa\cdot s}. \]

易错点：先把 \(0.5\ \mathrm{mm}\) 换成 \(5\times10^{-4}\ \mathrm m\)；题给的是单位面积的力，无须再另乘板面积。

作业 2-14｜由飞轮减速反求轴承间油液黏度

题目：飞轮重 \(W=500\ \mathrm N\)、回转半径 \(k=0.30\ \mathrm m\)，轴承长 \(L=0.05\ \mathrm m\)、轴径 \(d=0.02\ \mathrm m\)、径向间隙 \(\delta=0.05\ \mathrm{mm}\)。转速 \(n=600\ \mathrm{r/min}\) 时角减速度大小为 \(\alpha=0.02\ \mathrm{rad/s^2}\)。假设减速全部来自油液黏性阻力，求 \(\mu\)。

求解：先算转动惯量与所需阻力矩；窄环隙内轴面切向速度为 \(\omega d/2\)。

\[ I=\frac Wg k^2,\qquad M=I\alpha,\qquad \omega=\frac{2\pi n}{60}=20\pi\ \mathrm{rad/s}. \]

轴面切应力为 \(\mu\omega d/(2\delta)\)，润湿面积为 \(\pi dL\)，力臂为 \(d/2\)，因此

\[ M=\frac{\pi\mu Ld^3\omega}{4\delta},\qquad \mu=\frac{4\delta I\alpha}{\pi Ld^3\omega} \approx0.2325\ \mathrm{Pa\cdot s}. \]

易错点：“回转半径” \(k\) 用于 \(I=mk^2\)，不是飞轮的几何外半径；\(0.05\ \mathrm{mm}=5\times10^{-5}\ \mathrm m\)。

作业 2-16｜水在玻璃毛细管中上升

题目：内径 \(d=10\ \mathrm{mm}\) 的开口玻璃管插入 \(20^\circ\mathrm C\) 的水中，接触角 \(\theta=10^\circ\)，求管内水面上升高度。水的密度和表面张力系数按题目所用物性表取值。

求解：表面张力的竖直分量与上升液柱的重量平衡。管径形式为

\[ h=\frac{4\sigma\cos\theta}{\rho gd}. \]

因 \(\cos10^\circ>0\)，水面上升；代入 \(20^\circ\mathrm C\) 水的物性，约得 \(h=0.294\ \mathrm{cm}\)（课本答案）。

作业 2-17｜水银在玻璃毛细管中下降

题目：内径 \(d=8\ \mathrm{mm}\) 的开口玻璃管插入 \(20^\circ\mathrm C\) 的水银中，接触角约为 \(140^\circ\)，求管内液面变化。

求解：仍用 \(h=4\sigma\cos\theta/(\rho gd)\)。因为 \(\cos140^\circ<0\)，计算所得 \(h<0\)，表示下降；按课本物性表，下降约 \(1.36\ \mathrm{mm}\)。

易错点：先保留 \(\cos\theta\) 的符号，再把负值解释为下降；不要只报高度绝对值而漏写方向。

作业 2-7｜升温造成的体积流量变化（本次测验范围外）

题目：\(70^\circ\mathrm C\) 的水以 \(Q_1=50\ \mathrm{m^3/h}\) 流入锅炉，升至 \(90^\circ\mathrm C\)，体积膨胀系数 \(\alpha_V=0.00064\ \mathrm{K^{-1}}\)，求出口体积流量。

求解：质量流率不变，同一批水的体积随温度近似增大 \(\alpha_V\Delta T\)，所以

\[ Q_2=Q_1[1+\alpha_V(T_2-T_1)] =50[1+0.00064(90-70)] =50.64\ \mathrm{m^3/h}. \]

范围提示：这题是红笔作业题，但老师公布的首次测验四项中没有热膨胀。

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第二章 · 流体静力学

章节概览

静止流体没有剪切应力，任一点的应力只有各向相同的压强。重力场中的压强随深度线性增加；在加速容器内，则应使用相对容器的有效体积力。

静压强及其特征

流体静止时，任一点的压强与受压面的方向无关。压强总沿受压面法线作用。静止液体满足帕斯卡原理：外加压强的变化会传递到液体内部各处。

重力场中取 \(z\) 轴竖直向上，静力平衡方程为

\[ \frac{\partial p}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial p}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g \]

若液体密度近似不变，则任意点压强为

\[ p=p_0+\rho g h \]

\(h\) 是测点低于自由液面的深度，\(p_0\) 是液面压强。开口容器中 \(p_0\) 通常为大气压。绝对压强、表压和真空度的关系是

\[ p_{\mathrm{abs}}=p_{\mathrm{atm}}+p_{\mathrm{gauge}}, \qquad p_{\mathrm{vac}}=p_{\mathrm{atm}}-p_{\mathrm{abs}} \]

从手写稿核对推导：先在微小流体元上列竖直方向的压强力与重力平衡，得到 \(\mathrm dp/\mathrm dz=-\rho g\)；只有再取 \(\rho\) 为常数，才可积分为 \(p=p_0+\rho gh\)。第二章手写稿第 1–5 页给出受力图和积分步骤。

对于密度随高度变化的气体，不能直接把同一个 \(\rho\) 代入整个高度。若气体可视为等温理想气体，由 \(\rho=p/(RT)\) 联立静力方程可得

\[ p(z)=p(z_0)\exp\!\left[-\frac{g(z-z_0)}{RT}\right]. \]

这也是第二章手写稿第 8 页讨论大气压随高度变化时使用的附加假设。

帕斯卡定理

静止流体中的压强增量会向各处传递。若密闭、连通的液体受到额外压强 \(\Delta p\)，在忽略损失的静力条件下，各处压强都增加相同的 \(\Delta p\)。静止流体同一点的压强与受压面朝向无关，压强力始终垂直于受力面。

液压装置中，位于同一高度的两活塞受到相同的压强增量。设活塞面积为 \(A_1,A_2\)，则

\[ \Delta p=\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}, \qquad F_2=F_1\frac{A_2}{A_1} =F_1\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2. \]

若两点高度不同，还须按 \(p+\rho gz=\text{常数}\) 计入静水压差；帕斯卡定理说的是外加压强的增量相同，并不说不同深度处的总压强相同。

密闭流体传递外加压强；同一液体内原有的静压强仍随深度变化（图源：流体基本概念课件）

帕斯卡例题

演示题｜液压机由小活塞推力求大活塞举力

题目：两活塞同高，小活塞直径 \(d_1=2\ \mathrm{cm}\)，大活塞直径 \(d_2=10\ \mathrm{cm}\)。给小活塞施力 \(F_1=100\ \mathrm N\)，忽略自重和损失，求大活塞的举力。

求解：圆形活塞面积与直径平方成正比。由压强增量相等，

\[ F_2=F_1\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 =100\left(\frac{10}{2}\right)^2 =2500\ \mathrm N. \]

检查：力放大 \(25\) 倍时，大活塞移动距离是小活塞的 \(1/25\)；液压装置没有凭空产生能量。此为讲义自拟演示题，不冒充历年卷原题。

测压管与压强计

静水中同一连通液体的同一水平面上压强相等。使用 U 形管或多液柱压强计时，可从已知压强处出发沿管逐段走到目标点：

• 向下经过液柱，压强增加 \(\rho g\Delta h\)；
• 向上经过液柱，压强减少 \(\rho g\Delta h\)；
• 穿过不同液体界面时，压强连续，但密度要换成该段液体的密度。

压强计的符号检查

先画出各段液柱高度，再给每一段标清“向上”或“向下”。若最终测点比已知点低且处于同一静止液体中，压强差应为正；出现相反符号通常是高度方向写错。

平面上的静水总压力

平面面积为 \(A\)，形心位于自由液面下深度 \(h_c\)，且液面压强为 \(p_0\)。对表压积分得合力大小

\[ F=\int_A \rho g h\,\mathrm dA=\rho g h_c A \]

总压力作用点称为压力中心。对与自由液面相交、倾角为 \(\alpha\) 的平面，沿平面从液面量距离 \(s\)，形心位置为 \(s_c\)，形心轴惯性矩为 \(I_G\)，则

\[ s_{cp}=s_c+\frac{I_G}{s_c A} \]

压力中心通常低于形心，因为压强随深度增加。若液面上方还存在均匀表压，需要把均匀压强产生的合力一并计入。

曲面上的静水总压力

曲面受力可拆成水平和竖直分量：

• 水平分量等于该曲面在竖直平面上的投影所受静水总压力；
• 竖直分量等于曲面上方或下方假想液柱的重量，具体方向由受压侧和曲面形状决定；
• 合力为两分量的矢量和。

浮力与加速容器

物体浸入静止液体后，受到向上的浮力

\[ F_B=\rho g V_{\mathrm{disp}} \]

其中 \(V_{\mathrm{disp}}\) 是排开液体的体积。浮力作用线通过排开液体的体积中心。

若容器相对惯性系以加速度 \(\boldsymbol a_0\) 平移，在容器坐标系中加入惯性力后，静止液体满足

\[ \nabla p=\rho(\boldsymbol g-\boldsymbol a_0) \]

自由液面垂直于有效体积力方向。竖直容器向上加速时，液体相对容器的有效重力变为 \(g+a_0\)，底部压强梯度变大；水平加速时，自由液面倾斜。

旋转容器的自由液面

第二章手写稿第 16 页还画出了液体随容器作刚体转动的抛物形液面。若液体绕竖直轴以恒定角速度 \(\Omega\) 转动，沿径向与竖直方向分别有 \(\partial p/\partial r=\rho\Omega^2r\)、\(\partial p/\partial z=-\rho g\)。积分并令自由液面压强处处相同，得到

\[ z(r)-z(0)=\frac{\Omega^2r^2}{2g}. \]

做题检查：半径越大，液面越高；若题目还给液体体积，须另用体积守恒确定轴心液面高度 \(z(0)\)。

第二章例题 · U 形管压强计的列式

若一侧连接压强为 \(p_A\) 的容器，另一侧开口于大气，测压液体密度为 \(\rho_m\)，被测液体密度为 \(\rho\)，按液面高度从 A 点向开口端逐段走。每经过一段液体，就按“向下加、向上减”写一项 \(\rho_i g\Delta h_i\)，最后令到达开口端的压强等于 \(p_{\mathrm{atm}}\)。多液柱题不宜直接套单一高度公式。

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第三章 · 理想流体动力学

章节概览

理想流体是忽略黏性的模型。质量守恒给出连续性方程，牛顿第二定律给出欧拉方程，机械能沿流线守恒给出伯努利方程。三者描述的物理量不同，不能互相替代。

描述流体运动

流体质点的位置和速度随时间变化。速度场可写成 \(\boldsymbol V(x,y,z,t)\)。质点沿时间走过的轨迹称为迹线；某一时刻处处与速度相切的曲线称为流线；连续经过固定空间点的流体质点构成脉线。定常流动中三者重合。

随流体质点观察的物理量变化率称为物质导数：

\[ \frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol V\cdot\nabla \]

例如质点加速度为

\[ \boldsymbol a=\frac{D\boldsymbol V}{Dt} =\frac{\partial\boldsymbol V}{\partial t} +(\boldsymbol V\cdot\nabla)\boldsymbol V \]

定常流动中局部加速度为零，但流体仍可因空间速度变化而有对流加速度。

质量守恒与连续性方程

控制体内质量变化率加上流出质量净通量为零：

\[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\,\mathrm dV +\oint_{CS}\rho\boldsymbol V\cdot\boldsymbol n\,\mathrm dA=0 \]

微分形式为

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol V)=0 \]

不可压缩流体满足

\[ \nabla\cdot\boldsymbol V=0 \]

一维定常管流常用

\[ \rho_1 A_1V_1=\rho_2 A_2V_2 \]

不可压缩时退化为 \(A_1V_1=A_2V_2=Q\)。

若截面上速度不均匀，式中的 \(V_i\) 应取截面平均法向速度，而不是轴线速度：第三章手写稿第 8 页写为

\[ Q=\int_A\boldsymbol V\cdot\boldsymbol n\,\mathrm dA, \qquad \bar V=\frac{Q}{A}. \]

定常多入口、多出口时，应逐个截面写 \(\sum\dot m_{\rm in}=\sum\dot m_{\rm out}\)。下方极坐标连续性证明是同一个守恒条件在另一组坐标中的表达。

回忆题：极坐标连续性方程

年份未注明 · 证明｜二维极坐标连续性方程

原题线索（查看手写原图）：证明不可压缩流体二维平面流动的极坐标连续性方程

\[ \frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{v_r}{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta}=0. \]

解析：取单位厚度的微小扇形控制体，径向边长为 \(\mathrm dr\)，周向边长近似为 \(r\,\mathrm d\theta\)。径向净流出量为 \(\partial(rv_r)/\partial r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\)；周向净流出量为 \(\partial v_\theta/\partial\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\)。不可压缩、二维流动的净流出量为零，故

\[ \frac{1}{r}\frac{\partial(rv_r)}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta}=0. \]

展开第一项即得题设形式。易漏项是 \(v_r/r\)：周向弧长随半径变大，不能把极坐标直接当直角坐标使用。

理想流体运动方程与动量守恒

忽略黏性应力后，作用于流体微团的表面力只剩压强。欧拉方程为

\[ \rho\frac{D\boldsymbol V}{Dt} =\rho\boldsymbol f-\nabla p \]

其中 \(\boldsymbol f\) 是单位质量体积力，重力场中为 \(\boldsymbol g\)。对控制体，动量定理写成

\[ \sum\boldsymbol F =\frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\boldsymbol V\,\mathrm dV +\oint_{CS}\rho\boldsymbol V(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol n)\,\mathrm dA \]

定常单入口、单出口时，右侧简化为 \(\dot m(\boldsymbol V_2-\boldsymbol V_1)\)。计算弯管、喷嘴和射流受力时，应把压强力、重力及支座反力按同一坐标方向列出。

伯努利方程

对不可压缩、定常、无黏流动，若体积力有势，在同一条流线上积分欧拉方程可得

\[ \frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=C \]

或按单位重量写成水头形式

\[ \frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z=H \]

三项分别是压强水头、速度水头和位置水头。

使用伯努利方程前的检查

1. 流动可视为定常。
2. 流体密度近似不变，黏性损失可以忽略或另行补入。
3. 选取的两点在同一条流线上；若流动无旋，常数才可扩展到不同流线。
4. 两点间没有未计入的泵功、涡轮功或显著热能交换。

实际黏性管流的伯努利方程需加入水头损失，并按需要加入泵扬程和涡轮取能，见第四章。停滞点处速度降为零，停滞压强为 \(p_0=p+\rho V^2/2\)；该关系是皮托管测量速度的基础。

小孔出流、文丘里管与皮托管

大容器液面面积远大于小孔面积、两处均近似为大气压、液面速度可忽略时，由伯努利方程得到托里拆利公式

\[ V_{\mathrm{out}}=\sqrt{2gh} \]

文丘里管在缩口处截面积减小、速度升高、静压降低。联立连续性方程和两断面间伯努利方程可由压差求流量。皮托管利用迎流停滞点与静压孔之间的压差测得动压：

\[ V=\sqrt{\frac{2(p_0-p)}{\rho}} \]

实际仪器需用流量系数、压强孔布置和密度修正。

手写讲义第 23 页｜文丘里管由压差求流量

题目模型：不可压缩液体密度 \(\rho\)，水平文丘里管的入口与喉部面积为 \(A_1>A_2\)，两点压差为 \(\Delta p=p_1-p_2>0\)。忽略损失，求体积流量。

列式：连续性方程 \(V_1A_1=V_2A_2=Q\)；同高两点的伯努利方程给出 \(\Delta p=\rho(V_2^2-V_1^2)/2\)。消去速度后

\[ \boxed{Q=A_2\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho[1-(A_2/A_1)^2]}}}. \]

若压差由密度 \(\rho_m\) 的测压液测得、液柱高差为 \(h\)，且引压点等高，则 \(\Delta p=(\rho_m-\rho)gh\)。真实仪器的收缩损失与速度剖面影响可归入流量系数 \(C_d\)，使实测流量为 \(C_d\) 乘上述理想值。对照手写原图第 22–23 页。

手写讲义第 21 页｜皮托管由总静压差求流速

题目模型：在相同高度测得来流静压 \(p\) 与迎流停滞压强 \(p_0\)；忽略两点间损失，求来流速度。

列式：停滞点速度近似为零，伯努利方程给出 \(p+\rho V^2/2=p_0\)，故 \(V=\sqrt{2(p_0-p)/\rho}\)。若两端接同一种测压液且存在液柱高差，先用压强计关系换算 \(p_0-p\)，再代入速度式。手写稿特别标出了停滞压孔与静压孔的测点不能颠倒；见第 21 页。

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第四章 · 黏性流体动力学

章节概览

实际流体的黏性使壁面产生切应力和能量损失。本章的核心流程是先判断流动状态，再求速度分布或阻力系数，最后把沿程损失和局部损失并入能量方程。

固壁无滑移条件

黏性流体贴着固壁运动时，紧贴壁面的流体速度等于壁面速度：固定壁上为零，移动壁上等于壁面速度。这是求平板剪切和管内层流速度分布的边界条件。

库埃特流与泊肃叶流

两块平行板间距为 \(h\)，下板静止、上板以 \(U\) 运动，且没有流向压强梯度时，库埃特流速度分布为

\[ u(y)=\frac{U}{h}y,\qquad \tau_w=\mu\frac{U}{h},\qquad Q'=\frac{Uh}{2} \]

\(Q'\) 是单位宽度的体积流量。

两板固定、压强沿 \(x\) 方向下降时，板间平面泊肃叶流为

\[ u(y)=-\frac{1}{2\mu}\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}y(h-y) \]

最大速度在中面，平均速度为最大速度的 \(2/3\)：

\[ u_{\max}=-\frac{h^2}{8\mu}\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}, \qquad \bar u=\frac{2}{3}u_{\max}, \qquad Q'=-\frac{h^3}{12\mu}\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx} \]

圆管内充分发展层流的速度剖面为抛物线：

\[ u(r)=-\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}(R^2-r^2) \]

相应流量和平均速度为

\[ Q=\frac{\pi R^4}{8\mu}\frac{\Delta p}{L}, \qquad \bar u=\frac{R^2\Delta p}{8\mu L} \]

课件窄缝流动例题卡片

以下三题来自你发的课件截图。先选接触面，再写局部速度、速度梯度和切应力；平动求力，转动求力矩，功率还要乘速度或角速度。

课件图 1-16｜圆盘窄缝中的黏性阻力矩

题目：半径为 \(R=d/2\) 的圆盘以角速度 \(\omega\) 转动，盘面与静止壁面之间有均匀、很薄的流体缝隙 \(\delta\)，动力黏度为 \(\mu\)。求流体作用在圆盘这一侧表面上的阻力矩大小。设 \(\delta\ll d\)，忽略圆盘边缘效应，并把缝隙中的速度分布近似看成直线。

第一步：先看半径 \(r\) 处，不要把整张圆盘当成同一个速度。该处盘面切向速度是 \(v_0=\omega r\)，静止壁面速度为零。由无滑移条件和线性速度分布，缝隙内速度梯度及盘面切应力为

\[ \frac{\mathrm dv}{\mathrm dz}\approx\frac{\omega r}{\delta}, \qquad \tau(r)=\mu\frac{\omega r}{\delta}. \]

第二步：取一个很窄的圆环。半径为 \(r\)、宽为 \(\mathrm dr\) 的环带面积是 \(\mathrm dA=2\pi r\,\mathrm dr\)。环带上的摩擦力，再乘以力臂 \(r\)，才得到微元力矩：

\[ \mathrm dF=\tau(r)\,\mathrm dA =\frac{2\pi\mu\omega}{\delta}r^2\,\mathrm dr, \qquad \mathrm dM=r\,\mathrm dF =\frac{2\pi\mu\omega}{\delta}r^3\,\mathrm dr. \]

第三步：沿半径积分。圆心处 \(r=0\)，盘缘处 \(r=d/2\)，因此阻力矩大小为

\[ M=\int_0^{d/2}\frac{2\pi\mu\omega}{\delta}r^3\,\mathrm dr =\frac{\pi\mu\omega d^4}{32\delta} =\frac{\pi\mu\omega R^4}{2\delta}. \]

为什么积分里是 \(r^3\)？

\(\tau\propto r\)（盘缘速度更快），\(\mathrm dA\propto r\,\mathrm dr\)（外圈环带更长），力臂又是 \(r\)。三者相乘得到 \(r^3\,\mathrm dr\)。切应力随半径变化，不能直接用一整个圆盘面积乘一个固定切应力。

若转速以每分钟 \(n\) 转给出，代入 \(\omega=2\pi n/60=\pi n/30\) 即可。上式只计一个盘面与一处缝隙；若上下两侧条件完全相同，两个盘面的阻力矩相加。量纲检查：\([\mu\omega d^4/\delta]=\mathrm{N\cdot m}\)。

课件图 1-15｜同心圆柱旋转阻力矩与功率

题目：半径为 \(d/2\)、长度为 \(L\) 的圆柱轴在静止圆筒中转动，均匀环隙宽度为 \(\delta\)，其中充满动力黏度为 \(\mu\) 的流体。若 \(\delta\ll d\)，忽略端面和轴承损失，求流体对转轴的阻力矩及维持转动所需功率。

轴面半径为 \(d/2\)，所以轴面切向速度为 \(v_0=\omega d/2\)；外筒静止，窄环隙内可近似为线性速度分布。轴面切应力与润湿面积分别为

\[ \tau=\mu\frac{v_0}{\delta} =\frac{\mu\omega d}{2\delta}, \qquad A=\pi dL. \]

把切应力乘以轴面面积得到切向阻力，再乘轴半径得到阻力矩：

\[ F=\tau A=\frac{\pi\mu Ld^2\omega}{2\delta}, \qquad M=F\frac d2=\frac{\pi\mu Ld^3\omega}{4\delta}. \]

维持匀速转动时，驱动功率等于阻力矩乘角速度：

\[ P=M\omega=\frac{\pi\mu Ld^3\omega^2}{4\delta}. \]

圆柱与圆盘的积分区别

圆柱轴面上半径固定为 \(d/2\)，因此切应力处处相同，直接用 \(M=F(d/2)\)。圆盘上半径从 \(0\) 变到 \(d/2\)，局部速度和力臂都随半径变化，必须对环带积分。

课件例题 1-2｜往复活塞的平均摩擦功率

题目：活塞长 \(L=10\ \mathrm{cm}\)、直径 \(d=8\ \mathrm{cm}\)，在同心圆筒中往复运动。均匀间隙为 \(\delta=0.5\ \mathrm{mm}\)，油液动力黏度为 \(\mu=0.09\ \mathrm{Pa\cdot s}\)。活塞位移为 \(x=a\sin(\omega t)\)，振幅 \(a=20\ \mathrm{cm}\)，每分钟往复 \(n=360\) 次。忽略活塞惯性及端面摩擦，求克服流体摩擦所需的平均功率。

先由位移求速度。一往复对应一个周期，角频率为

\[ \omega=\frac{2\pi n}{60}=12\pi\ \mathrm{rad/s}, \qquad v(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=a\omega\cos(\omega t). \]

活塞侧面与静止圆筒之间近似为库埃特流，润湿侧面积 \(A=\pi dL\)，故切应力大小和摩擦力大小为

\[ \tau(t)=\mu\frac{|v(t)|}{\delta}, \qquad F(t)=\tau(t)A=\frac{\pi\mu Ld}{\delta}|v(t)|. \]

瞬时驱动功率等于摩擦力乘活塞速度大小，即 \(P(t)=F(t)|v(t)|\)。由于 \(v^2(t)=a^2\omega^2\cos^2(\omega t)\)，而一个周期内 \(\cos^2\) 的平均值为 \(1/2\)，得到

\[ \bar P=\frac{\pi\mu Ld}{\delta}\,\overline{v^2} =\frac{\pi\mu Ld\,a^2\omega^2}{2\delta} \approx129\ \mathrm W. \]

代入 SI 单位：\(L=0.10\ \mathrm m\)、\(d=0.08\ \mathrm m\)、\(a=0.20\ \mathrm m\)、\(\delta=5.0\times10^{-4}\ \mathrm m\)。这里求的是一个完整往复周期的平均功率；不能把最大速度代入后当作平均值。

管流状态与沿程阻力

圆管雷诺数为 \(\mathrm{Re}_D=\bar uD/\nu\)。通常 \(\mathrm{Re}_D\lesssim2300\) 为层流，约 \(2300\) 至 \(4000\) 为过渡区，较大时为湍流；临界值会受入口扰动、管道粗糙度等影响。

达西－魏斯巴赫公式写作

\[ h_f=f_D\frac{L}{D}\frac{\bar u^2}{2g} \]

层流时 \(f_D=64/\mathrm{Re}_D\)。湍流时 \(f_D\) 取决于雷诺数和相对粗糙度 \(\epsilon/D\)，可用莫迪图或科尔布鲁克公式求取：

\[ \frac{1}{\sqrt{f_D}} =-2\log_{10}\left( \frac{\epsilon}{3.7D}+\frac{2.51}{\mathrm{Re}_D\sqrt{f_D}} \right) \]

水力光滑管、过渡粗糙管和完全粗糙管对应不同的黏性与粗糙度影响区间，不能仅凭“粗糙”或“光滑”口头判断系数。

局部阻力按

\[ h_m=K\frac{V_{\mathrm{ref}}^2}{2g} \]

计算，\(K\) 对应的参考速度必须与阻力系数定义一致。突扩、突缩、弯头、阀门和入口出口都可能产生局部损失。

回忆题：局部阻力系数与水头损失

年份未注明 · 计算①｜由两截面积求局部阻力系数

原题线索（查看手写原图）：已知 \(A_1,A_2\)，求 \(\zeta_2\)。原图没有管件形状，也没有标明 \(\zeta_2\) 的参考速度。

解析：若原题图是突然扩大，且 \(\zeta_2\) 以扩大后断面速度 \(V_2\) 为基准，连续方程给出 \(V_1/V_2=A_2/A_1\)。用突扩损失公式

\[ h_j=\frac{(V_1-V_2)^2}{2g} =\zeta_2\frac{V_2^2}{2g},\qquad \boxed{\zeta_2=\left(\frac{A_2}{A_1}-1\right)^2}. \]

若图中是突然缩小、弯头或阀门，则不能仅凭 \(A_1,A_2\) 使用此式；应先确定管件类型和系数定义。

年份未注明 · 计算②｜已知流量求局部水头损失

原题线索（查看手写原图）：已知 \(Q\)，求 \(h_j\)，与上一小问属于同一管路题。

解析：参考断面若为 2，则 \(V_2=Q/A_2\)，故

\[ \boxed{h_j=\zeta_2\frac{Q^2}{2gA_2^2}}. \]

在突然扩大这一条件下，也可直接用 \(h_j=\frac{Q^2}{2g}(1/A_1-1/A_2)^2\)。若原题 \(\zeta_2\) 采用断面 1 的速度作基准，须相应改为 \(h_j=\zeta_2 Q^2/(2gA_1^2)\)。原图未给数值，不能算出唯一数值答案。

管路能量方程与组合管路

实际流动沿程的能量方程可写为

\[ \frac{p_1}{\rho g}+\alpha_1\frac{V_1^2}{2g}+z_1+H_p = \frac{p_2}{\rho g}+\alpha_2\frac{V_2^2}{2g}+z_2+H_t+h_L \]

\(H_p\) 为泵对流体增加的水头，\(H_t\) 为涡轮从流体取走的水头，\(h_L\) 是沿程和局部损失之和，\(\alpha\) 是动能修正系数。

串联管路各段流量相同，总损失为各段损失之和；并联支路的总水头损失相同，总流量等于各支路流量之和。复杂管网可按节点连续方程与回路能量方程联立求解。

回忆题：烟囱高度与抽力

年份未注明 · 计算｜烟囱高度与抽力

原题线索（查看手写原图）：烟囱直径 \(d\)，烟气密度 \(\rho_1\)，大气密度 \(\rho_2\)，烟气流量 \(Q\)，沿程阻力系数 \(\lambda\)；截面 1 的负压需超过图中所写阈值（手写数值疑为 \(150\ \mathrm{Pa}\)），求高度 \(H\)。

解析：若截面 1 位于烟囱底部、出口 2 与外界同压，忽略局部损失并把两截面的烟气速度视为相同，则 \(V=4Q/(\pi d^2)\)。外界空气柱与烟气柱的静压差提供抽力，沿程损失消耗其中一部分：

\[ \Delta p_{\text{抽}}=p_{\text{外},1}-p_1 =(\rho_2-\rho_1)gH -\lambda\frac{H}{d}\frac{\rho_1V^2}{2}. \]

若阈值确为 \(p_*=150\ \mathrm{Pa}\)，条件为

\[ \boxed{H>\frac{p_*}{(\rho_2-\rho_1)g-\lambda\rho_1V^2/(2d)}}. \]

分母须为正，否则此模型下增高烟囱也达不到指定抽力。若原题另计出口、入口局部损失，或“截面 1 压强”的基准不同，须把相应项重新列入压强方程。图中缺少 \(d,Q,\rho_1,\rho_2,\lambda\) 的数值，无法确定数值高度。

边界层概念

流体掠过固壁时，无滑移条件使近壁速度从零逐渐过渡到外流速度，形成黏性影响显著的边界层。常把速度达到外流速度 \(99\%\) 的位置作为边界层厚度；逆压强梯度足够强时，近壁流动可反向并发生分离。甲Ⅰ教学安排要求认识边界层概念，详细动量积分计算不列为本页例题。

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第五章 · 可压缩流体一维定常流动

章节概览

本章主要研究密度随压强、温度变化的高速气流。先由声速确定马赫数，再结合连续方程、能量方程和等熵关系分析喷管截面变化和流量是否堵塞。

声速、马赫数与等熵关系

小扰动在气体中传播的速度称为声速。对热完全气体的等熵小扰动，

\[ a=\sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial\rho}\right)_s} =\sqrt{\gamma_gRT} \]

马赫数为

\[ \mathrm{Ma}=\frac{V}{a} \]

\(\mathrm{Ma}<1\) 为亚声速，\(\mathrm{Ma}=1\) 为声速，\(\mathrm{Ma}>1\) 为超声速。若气流变化足够缓慢且过程可逆、绝热，满足

\[ \frac{p}{\rho^{\gamma_g}}=\text{常数},\qquad \frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(\gamma_g-1)/\gamma_g} \]

定常一维能量方程与滞止参数

稳定、绝热、无轴功的一维流动满足

\[ h+\frac{V^2}{2}=h_0 \]

对定比热理想气体，

\[ T_0=T+\frac{V^2}{2c_p} =T\left(1+\frac{\gamma_g-1}{2}\mathrm{Ma}^2\right) \]

\(T_0\) 是气流等熵减速到零速时的滞止温度。等熵流动中滞止温度和滞止压强不变。滞止压强关系为

\[ \frac{p_0}{p} =\left(1+\frac{\gamma_g-1}{2}\mathrm{Ma}^2\right)^{\gamma_g/(\gamma_g-1)} \]

回忆题：两截面等熵气流

年份未注明 · 计算｜两截面等熵气流的速度、温度和马赫数

原题线索（查看手写原图）：已知截面 1 的 \(p_1,T_1,A_1\)，截面 2 的 \(p_2,A_2\)，以及气体比热比 \(\gamma_g\)、气体常数 \(R\)；求 \(V_1,\mathrm{Ma}_1,V_2,T_2,\mathrm{Ma}_2\)。图中注明等熵。

解析：先用等熵关系求静温，记连续方程给出的速度比为 \(k\)：

\[ T_2=T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(\gamma_g-1)/\gamma_g}, \qquad k=\frac{V_2}{V_1}=\frac{p_1T_2A_1}{p_2T_1A_2}. \]

再用绝热、无轴功能量方程 \(c_pT_1+V_1^2/2=c_pT_2+V_2^2/2\)，其中 \(c_p=\gamma_gR/(\gamma_g-1)\)，解得

\[ V_1=\sqrt{\frac{2c_p(T_1-T_2)}{k^2-1}}, \qquad V_2=kV_1, \qquad \mathrm{Ma}_i=\frac{V_i}{\sqrt{\gamma_gRT_i}}\quad(i=1,2). \]

检查：根号内必须非负；若 \(p_2<p_1\) 且气流加速，通常有 \(T_2<T_1\)、\(k>1\)。若代入题目数值不满足此条件，应检查流向、面积、是否真正等熵，以及是否遗漏激波或其他损失。原图没有给具体数值，卡片保留可直接代入的符号答案。

等熵喷管与临界流动

一维定常质量守恒为

\[ \dot m=\rho AV=\text{常数} \]

气流速度、密度和截面积的变化满足

\[ \frac{\mathrm dA}{A}=(\mathrm{Ma}^2-1)\frac{\mathrm dV}{V} \]

亚声速流动要加速，需要收缩截面；超声速流动要加速，需要扩张截面。收缩－扩张喷管可先在收缩段加速到声速，再在扩张段继续加速到超声速。

当喉部达到 \(\mathrm{Ma}=1\)，质量流率达到给定滞止状态下的最大值，称为临界或堵塞流动。临界状态参数为

\[ \frac{T^*}{T_0}=\frac{2}{\gamma_g+1},\qquad \frac{p^*}{p_0} =\left(\frac{2}{\gamma_g+1}\right)^{\gamma_g/(\gamma_g-1)} \]

继续降低背压不会再增加喉部质量流率；喷管流量是否达到临界值，应由喉部状态和背压判断。

第五章例题 · 判断收缩段是否能使气流加速

先算入口马赫数 \(\mathrm{Ma}_1=V_1/\sqrt{\gamma_gRT_1}\)。若入口为亚声速，缩小面积使速度增大、静压和静温下降；若已是超声速，单纯收缩反而使速度降低。若题目要求出口超声速，应确认装置是否包含达到声速的喉部和其后的扩张段。

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第六章 · 量纲分析与相似原理

章节概览

实验研究往往同时涉及几何尺寸、流速、密度、黏度和重力等变量。量纲分析把变量组合成无量纲数，帮助减少实验次数，并判断模型与原型能否相似。

量纲一致性与 \(\Pi\) 定理

量纲一致性要求物理方程两边的量纲相同。对 \(n\) 个物理量，如果它们由 \(k\) 个独立基本量纲组成，依巴金汉 \(\Pi\) 定理指出问题可化为 \(n-k\) 个独立无量纲组合之间的关系。

常见基本量纲为质量 \(M\)、长度 \(L\)、时间 \(T\) 和温度 \(\Theta\)。选重复变量时，应满足：彼此量纲独立、涵盖问题所含基本量纲，且不把待求因变量选作重复变量。

量纲分析步骤

1. 写出待求量及所有可能相关变量。
2. 列出各变量的量纲。
3. 选出满足独立性条件的重复变量。
4. 对每个非重复变量构造无量纲乘积，解出指数。
5. 检查各 \(\Pi\) 群的量纲确为 1，再由实验确定群间函数关系。

回忆题：沉降速度与量纲分析

年份未注明 · 证明｜沉降速度的量纲表达

原题线索（查看手写原图）：用量纲法说明一个速度 \(V\) 可写成

\[ V=\sqrt{dg\left(\frac{\rho_s}{\rho_f}-1\right)}\; f\!\left(\frac{\rho_f Vd}{\mu_f}\right). \]

原图只写 \(\rho,\rho_1,\mu_1\)，未写具体物体；这里用 \(\rho_s\) 表示物体密度、\(\rho_f\) 表示流体密度，按物体在流体中沉降、\(\rho_s>\rho_f\)解释该式。\(f\) 为未知无量纲函数，括号内是雷诺数。

解析：若特征尺度为 \(d\)，惯性阻力尺度为 \(\rho_f V^2d^2\)，有效重力尺度为 \((\rho_s-\rho_f)gd^3\)，则两者平衡给出速度尺度

\[ V^2\sim dg\left(\frac{\rho_s}{\rho_f}-1\right). \]

黏性影响由 \(\mathrm{Re}=\rho_f Vd/\mu_f\) 表征，尚不知道的阻力规律并入 \(f(\mathrm{Re})\)，于是得到题中隐式关系。只靠量纲一致性不能确定函数 \(f\)，也不能单独推导出浮力造成的密度差；后者还用到了沉降时重力与浮力的物理平衡。若物体为球且阻力系数定义为 \(F_D=C_D\rho_f V^2(\pi d^2/4)/2\)，则 \(f=\sqrt{4/(3C_D)}\)，而 \(C_D\) 仍取决于 \(\mathrm{Re}\)。

相似条件与常见无量纲数

模型与原型通常依次检查几何相似、运动相似和动力相似。对主导物理机制，需使对应无量纲数相等或足够接近：

无量纲数	定义	主要比较的作用
雷诺数 \(\mathrm{Re}\)	\(\rho VL/\mu\)	惯性力与黏性力
弗劳德数 \(\mathrm{Fr}\)	\(V/\sqrt{gL}\)	惯性力与重力
欧拉数 \(\mathrm{Eu}\)	\(\Delta p/(\rho V^2)\)	压强力与惯性力
马赫数 \(\mathrm{Ma}\)	\(V/a\)	流速与声速，衡量压缩性
韦伯数 \(\mathrm{We}\)	\(\rho V^2L/\sigma\)	惯性力与表面张力

管流阻力实验通常优先匹配雷诺数；自由液面波浪常需匹配弗劳德数；高速气流需关注马赫数；小尺度液滴和毛细流动需关注韦伯数。若多个效应都不可忽略，模型尺度设计可能无法同时满足所有相似条件，应说明主要误差来自哪一项。

第六章例题 · 圆柱阻力的无量纲表达

设圆柱受到的阻力 \(F_D\) 与流体密度 \(\rho\)、动力黏度 \(\mu\)、来流速度 \(V\) 和圆柱直径 \(D\) 有关。取 \(\rho,V,D\) 为重复变量，可得

\[ \frac{F_D}{\rho V^2D^2} =\Phi\left(\frac{\rho VD}{\mu}\right) \]

左侧可整理为阻力系数，右侧是雷诺数的函数。于是不同尺寸模型在相同雷诺数下，阻力系数可直接比较。

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复习时最容易混淆的几组关系

• 静压强与伯努利压强：静水公式由静力平衡得到；伯努利方程沿流线连接压强、速度和高度。
• 黏度与运动黏度：\(\mu\) 进入应力关系，\(\nu=\mu/\rho\) 进入雷诺数。
• 流线与迹线：定常时重合；非定常时通常不同。
• 滞止压强与静压强：滞止压强对应无损减速到零速后的压强；静压强是流体所在位置的实际压强。
• 达西系数与局部系数：沿程项还要乘 \(L/D\)；局部损失项使用题目指定的参考速度。
• 伯努利方程与动量方程：前者平衡机械能，后者平衡矢量动量；弯管受力题通常两者都要用。

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资料说明

主体章节依照《工程流体力学（甲）Ⅰ的课程知识体系》《课程教学指南_2026年秋季学期》及对应课程资料整理；作业题来自用户提供的红笔照片，课件例题来自用户提供的截图。现已收录一份未注明年份、未保留完整数值的甲Ⅰ手写回忆卷，按可辨认的题干线索与本课程知识点整理解析；与前述作业题、课件题分别标注，不推定具体考试年份。

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